為促使考研的同學(xué)能夠更為高效地進(jìn)行考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，新東方考研教育的工作人員歸納整理了“考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中容易混淆的概念有哪些？”。正在備考考研數(shù)學(xué)的同學(xué)可加以了解，期望對大家有所助益。

連續(xù)，可導(dǎo)，存在原函數(shù)，可積，可微，偏導(dǎo)數(shù)存在他們之間的關(guān)系是怎么樣的?存在極 限，導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，左連續(xù)，右連續(xù)，左極 限，右極 限，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的左極 限，導(dǎo)函數(shù)的右極限。

一、高等數(shù)學(xué)部分

1. 導(dǎo)數(shù)與微分
- 區(qū)別：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的變化率，是一個數(shù)值；微分是函數(shù)在某一點的增量的線性主部，是一個關(guān)于自變量增量的函數(shù)。
- 聯(lián)系：函數(shù)在某一點可導(dǎo)，則在該點一定可微，且微分\(dy = f'(x)dx\)。

2. 連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系
- 連續(xù)是可導(dǎo)與可微的必要條件，但不充分。即如果函數(shù)在某一點可導(dǎo)或可微，那么該函數(shù)在這一點一定連續(xù)；但連續(xù)不一定可導(dǎo)或可微。
- 可導(dǎo)是可微的充分必要條件，即函數(shù)在某一點可導(dǎo)等價于在該點可微。

3. 定積分與不定積分
- 區(qū)別：不定積分是求被積函數(shù)的原函數(shù)，結(jié)果是一個函數(shù)族；定積分是一個數(shù)值，是函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限。
- 聯(lián)系：定積分的計算可以通過牛頓-萊布尼茨公式轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù)在區(qū)間端點的值之差，即\(\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\)，其中\(zhòng)(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)。

4. 偏導(dǎo)數(shù)與全微分
- 區(qū)別：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)對某一個自變量的導(dǎo)數(shù)，而全微分是函數(shù)在某一點處的全增量的線性主部。
- 聯(lián)系：如果函數(shù)在某一點可微，那么函數(shù)在該點的全微分\(dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\)。

二、線性代數(shù)部分

1. 矩陣的等價、相似與合同
- 等價：矩陣\(A\)與\(B\)等價，是指存在可逆矩陣\(P\)和\(Q\)，使得\(PAQ = B\)。等價關(guān)系主要反映了矩陣在初等變換下的關(guān)系，只涉及矩陣的秩相同。
- 相似：矩陣\(A\)與\(B\)相似，是指存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP = B\)。相似矩陣有相同的特征值、行列式、秩等。
- 合同：矩陣\(A\)與\(B\)合同，是指存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{T}AP = B\)。合同矩陣主要針對對稱矩陣，具有相同的正定性和秩。

2. 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)
- 線性相關(guān)：存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+\cdots + k_m\alpha_m = 0\)，則稱向量組\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}\)線性相關(guān)。
- 線性無關(guān)：只有當(dāng)\(k_1 = k_2=\cdots = k_m = 0\)時，\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+\cdots + k_m\alpha_m = 0\)才成立，則稱向量組\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}\)線性無關(guān)。

3. 特征值與特征向量
- 特征值是滿足方程\(\vert A-\lambda E\vert = 0\)的\(\lambda\)值，特征向量是對應(yīng)特征值的非零向量\(\xi\)，滿足\(A\xi=\lambda\xi\)。
- 不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；同一特征值的不同特征向量可能線性相關(guān)也可能線性無關(guān)。

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分

1. 條件概率與聯(lián)合概率、邊緣概率
- 條件概率：在事件\(B\)發(fā)生的條件下，事件\(A\)發(fā)生的概率，記為\(P(A\vert B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)。
- 聯(lián)合概率：事件\(A\)和事件\(B\)同時發(fā)生的概率，記為\(P(AB)\)。
- 邊緣概率：對于兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)，\(P(X=x)\)和\(P(Y=y)\)分別稱為\(X\)和\(Y\)的邊緣概率，是通過對聯(lián)合概率分布在另一個變量上求和得到的。

2. 期望與方差
- 期望：又稱均值，是隨機變量取值的加權(quán)平均，反映了隨機變量的平均水平。對于離散型隨機變量\(X\)，\(E(X)=\sum_{i}x_ip_i\)；對于連續(xù)型隨機變量\(X\)，\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)。
- 方差：衡量隨機變量取值與其期望的偏離程度，\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)。方差越大，表明隨機變量的取值越分散；方差越小，表明隨機變量的取值越集中在期望附近。

3. 獨立與不相關(guān)
- 獨立：兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)獨立，意味著它們的聯(lián)合概率分布等于各自邊緣概率分布的乘積，即\(P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)\)。
- 不相關(guān)：隨機變量\(X\)和\(Y\)不相關(guān)，是指它們的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0\)。
- 獨立一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定獨立。

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